63: 名無しさん＠おーぷん 19/08/30(金)19:34:49 ID:jKO

変えたほうが当たりやすいっていう理屈は理解してたけどなんで2/3になるかは知らんなあ

69: 名無しさん＠おーぷん 19/08/30(金)19:40:00 ID:IRT

ベイズの定理でモンティホール問題を解く方法を書くか
これで、感覚的には納得できなくても理論的には納得できるはずや

まずベイズの定理とは
P(X|Y)=P(Y|X)P(X)/P(Y)
のことや
ここでP(X)やP(Y)はそれぞれXやYの起きる確率やで(XやYにはなんか適当な出来事が入ると思ってくれ)
で、P(X|Y)とは「Yが起きたことが確定してる上で、Xが起きる確率」のことを表してる
例えば
X=東大合格　Y=偏差値70
やとすると
P(X|Y)=偏差値70のやつが東大受かる確率
P(Y|X)=東大合格者が偏差値70の確率ってことや

以下、この定理を使ってモンティホール問題を計算する

75: 名無しさん＠おーぷん 19/08/30(金)19:50:13 ID:IRT

とりあえず3つのドアにA,B,Cと名前付けるぞ
で、最初に選んだドアをA、司会者のモンティが外れだと見せたドアをB、残り一つのドアをCとする

・変更しないときの確率は

P(Aが当たり|司会がBを開ける)

だから、これにベイズの定理を当てはめると

P(Aが当たり|司会がBを開ける)=P(司会がBを開ける|Aが当たり)P(Aが当たり)/P(司会がBを開ける)

となる。あとはそれぞれ

P(司会がBを開ける|Aが当たり)=1/2 ……Aが当たりのとき、司会はBとCのどちらを選んでも開けても良いので1/2

P(Aが当たり)=1/3　・……ドアが3つあるんだから当たり前

P(司会がBを開ける)=1/2　・……これはちょっと説明が面倒なので次レスに回す

だから、

(1/2)×(1/3)/(1/2)=1/3

ってなるんや。変更しないと1/3になる説明はこんなとこや

84: 名無しさん＠おーぷん 19/08/30(金)19:58:48 ID:IRT

>>69>>75の続き

・変更するときの確率は

P(Cが当たり|司会がBを開ける)

だから、これにベイズの定理を当てはめると

P(Cが当たり|司会がBを開ける)=P(司会がBを開ける|Cが当たり)P(Cが当たり)/P(司会がBを開ける)

となる。あとはそれぞれ

P(司会がBを開ける|Cが当たり)=1 ……Cが当たりのとき、司会はBとCのうちBしか選べないので確率は1

P(Cが当たり)=1/3　・……ドアが3つあるんだから当たり前

P(司会がBを開ける)=P(司会がBを開ける|Aが当たり)P(Aが当たり)+P(司会がBを開ける|Cが当たり)P(Cが当たり)
=(1/2)×(1/3)+1×1/3
=1/2

だから、

1×(1/3)/(1/2)=2/3

ってなるんや。変更すると2/3になる説明はこんなとこや

71: 名無しさん＠おーぷん 19/08/30(金)19:42:29 ID:hSs

2択になるってのが錯覚なんやろ

・最初の3択で外れを選ぶ（2/3）
モンティが開けなかった方の中身は絶対に当たり

・最初の3択で当たりを選ぶ（1/3）
モンティが開けなかった方の中身は絶対に外れ

なんやから

73: 名無しさん＠おーぷん 19/08/30(金)19:46:19 ID:ma3

青で囲んだのが最初に選んだドア
赤で囲んだのがモンティが外したドア
こうしてみれば変えた方が当たるのは一目瞭然か
https://livedoor.blogimg.jp/nwknews/imgs/a/e/ae174d12.png

77: 名無しさん＠おーぷん 19/08/30(金)19:52:45 ID:qsc

100個の箱があってそこから1つ箱を選んだとき
その箱の中身がハズレの確率は99%、アタリの確率は1%
モンティがハズレのうち98個の箱を開ける
このとき最初に選んだ箱の中身がハズレなら、箱を変えることで確実にアタリが引ける
つまり、最初に選んだ箱がハズレの場合と同じ99%の確率でアタリが引ける
箱を変えることでハズレを引いてしまうのは最初に選んだ箱がハズレの場合だけで、その確率は1%
よって箱を変えた方が良い